Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Cách giải:
Bước 1. (Làm cho hai hệ số của một ẩn nào đó bằng nhau hoặc đối nhau) Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.
Bước 2. (Đưa phương trình về một ẩn) Cộng (hay trừ) từng vế hai phương trình của hệ phương trình nhận được ở Bước 1 để nhận được một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0, tức là nhận được phương trình một ẩn. Giải phương trình một ẩn đó.
Bước 3. (Tìm ẩn còn lại và kết luận) Thay giá trị vừa tìm được ở Bước 2 vào một trong hai phương trình của hệ đã cho để tìm giá trị của ẩn còn lại. Từ đó ta tìm được nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Ví dụ:
1. Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}5x – 7y = 9\\5x – 3y = 1\end{array} \right.\) được giải bằng phương pháp cộng đại số như sau:
Trừ từng vế hai phương trình ta được \(\left( {5x – 5x} \right) + \left( { – 7y + 3y} \right) = 9 – 1\) hay \( – 4y = 8\), suy ra \(y = – 2\).
Thế \(y = – 2\) vào phương trình thứ hai ta được \(5x – 7.\left( { – 2} \right) = 9\) hay \(5x + 14 = 9\), suy ra \(x = – 1\).
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là (-1;-2).
2. Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3x – 5y = 2\\ – 6x + 10y = – 4\end{array} \right.\) được giải bằng phương pháp cộng đại số như sau:
Chia hai vế của phương trình thứ hai cho 2, ta được hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3x – 5y = 2\\ – 3x + 5y = – 2\end{array} \right.\)
Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới ta có \(0x + 0y = 0\). Hệ này luôn thỏa mãn với các giá trị tùy ý của x và y.
Với giá trị tùy ý của x, giá trị của y được tính nhờ hệ thức \(3x – 5y = 2\), suy ra \(y = \frac{3}{5}x – \frac{2}{5}\).
Vậy hệ phương trình đã cho cho nghiệm là \(\left( {x;\frac{3}{5}x – \frac{2}{5}} \right)\) với \(x \in \mathbb{R}\).

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Cách giải
Bước 1: (Thế) Từ một phương trình của hệ đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình một ẩn.
Bước 2. (Giải phương trình một ẩn) Giải phương trình (một ẩn) nhận được ở Bước 1 để tìm giá trị của ẩn đó.
Bước 3. (Tìm ẩn còn lại và kết luận) Thay giá trị vừa tìm được của ẩn đó ở Bước 2 vào biểu thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia ở Bước 1 để tìm giá trị của ẩn còn lại. Từ đó, ta tìm được nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Ví dụ:
1. Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x – y = 3\\x + 2y = 4\end{array} \right.\) được giải bằng phương pháp thế như sau:
Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có \(y = 2x – 3\).
Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được \(x + 2\left( {2x – 3} \right) = 4\)
Giải phương trình \(x + 2\left( {2x – 3} \right) = 4\), ta được:
\(x + 2\left( {2x – 3} \right) = 4\)
\(5x – 6 = 4\)
\(x = 2\).
Thay \(x = 2\) vào phương trình \(y = 2x – 3\), ta có: \(y = 2.2 – 3 = 1\).
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;1} \right)\).
2. Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x – y = – 2\\2x – 2y = 8\end{array} \right.\) được giải bằng phương pháp thế như sau:
Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có \(x = y – 2\).
Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được
\(2\left( {y – 2} \right) – 2y = 8\)
\(0y – 4 = 8\).
Do không có giá trị vào của y thỏa mãn hệ thức \(0y – 4 = 8\) nên hệ phương trình vô nghiệm.
3. Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} – x + y = – 2\\3x – 3y = 6\end{array} \right.\) được giải bằng phương pháp thế như sau:
Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có \(y = x – 2\).
Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được
\(3x – 3\left( {x – 2} \right) = 6\)
\(0x = 0\).
Ta thấy mọi giá trị của x đều thỏa mãn \(0x = 0\).
Với giá trị tùy ý của x, giá trị tương ứng của y được tính bởi \(y = x – 2\).
Vậy hệ phương trình có nghiệm là \(\left( {x;x – 2} \right)\) với \(x \in \mathbb{R}\) tùy ý.
Chú ý: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có thể có nghiệm duy nhất hoặc vô nghiệm hoặc vô số nghiệm.