Một trong những phương pháp giải toán nổi tiếng (nhưng lại thường bị lãng quên) chính là nguyên lí Đi-rích-lê. Ở dạng cơ bản nhất, nguyên lí này được phát biểu như sau: nếu có 5 con thỏ và 4 cái chuồng thì có ít nhất một chuồng có nhiều hơn 1 con thỏ (vì chia đều 4 con thỏ vào 4 cái chuồng thì mỗi chuồng có 1 con và còn dư 1 con – sẽ phải nhốt tiếp vào 1 chuồng nào đấy).
Ví dụ khác: Một hội nghị có 52 đại biểu được ngồi vào 10 dãy ghế. Chứng minh rằng tồn tại một dãy ghế có số đại biểu ngồi lớn hơn hoặc bằng 6. Vì chia đều 52 đại biểu vào 10 dãy ghế, mỗi dãy sẽ có 5 đại biểu và còn dư 2 người. Do đó, chắc chắn sẽ có 1 dãy có 6 người trở lên. (Việc tìm thương của phép chia 52 cho 10 (không lấy phần dư), người ta dùng phép tính: $\left[ \frac{52}{10} \right]=5$ gọi là phép lấy phần nguyên của phép chia 52 cho 10).
Nhưng nếu lấy công thức là phần nguyên của số đại biểu chia cho số ghế rồi cộng 1 thì kết quả sẽ bị sai khi số đại biểu chia hết cho số ghế. (ví dụ: nếu chỉ có 50 đại biểu và 10 dãy ghế, thì trong trường hợp mỗi dãy chó 5 người, không tồn tại dãy nào có $\left[ \frac{52}{10} \right]+1=6$ người cả.
Để tổng quát cho cả trường hợp chia hết, người ta sửa lại công thức như sau:
Nếu có A món đồ và B hộp đựng thì sẽ có ít nhất một hộp đựng tối thiểu $\left[ \frac{A-1}{B} \right]+1$ món đồ.
(với $\left[ \frac{A-1}{B} \right]$ là phần nguyên của $\frac{A-1}{B}$ )
Người đầu tiên đề xuất ra nguyên lý này được cho là nhà toán học Đức Johann Dirichlet (13/02/1805 – 05/05/1859) khi ông đề cập tới nó với tên gọi “nguyên lý ngăn kéo”.
Dưới đây là một ví dụ minh họa về nguyên lí Đi-rích-lê:
1. Trong 3 găng tay, có ít nhất hai găng tay phải hoặc hai găng tay trái.
2. Phòng họp có 10 người tùy ý. Chứng minh luôn có ít nhất 2 người có số người quen bằng nhau. [Giải bằng cách giả sử có 9 “hộp”, mỗi hộp “đựng” một nhóm người có số người quen từ 0 (không quen ai) cho đến 9 (1 người quen 9 người còn lại)]
3. Nếu có 367 người, thì chắc chắn 100% có ít nhất một cặp có cùng ngày sinh (vì một năm có tối đa 366 ngày).
Tuy nhiên bài toán ngày sinh còn thú vị hơn ở chỗ: nếu chỉ cần có 75 người thôi, thì xác suất để có 1 cặp có cùng ngày sinh đã là 99,9% rồi. Nếu bạn vào 1 lớp 40 học sinh, và cược rằng trong lớp đó có ít nhất hai bạn có cùng sinh nhật. Tỉ lệ thắng khi đó còn 88,2%, chỉ trượt nếu mà bạn…quá đen! [Để tính được những con số này, bạn cần sử dụng kiến thức thuộc môn xác suất – thống kê, “xịn: hơn Chương III – Đại số 7 một chút]
Vậy là, ta có thể dùng lập luận khá quen thuộc này với một tên chính thức rồi nhé!
Ví dụ 2 và 3 sẽ cần xem xét kĩ lưỡng để hiểu cặn kẽ. Đây cũng là một đặc điểm quý báu của người làm khoa học. Bởi đôi khi, việc xem két kĩ lưỡng lại những thiếu sót, sai lầm lại giúp các nhà khoa học khám phá ra những điều tuyệt vời ngoài mong đợi như câu chuyện sau đây.